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理科立体几何为何青睐于坐标法解决问题的几点思考

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作者:原作原创  来源:网络转载  发布时间:2017-03-13 13:51:00

 1几何法和向量坐标法的应用概况 
  据统计,近十年来,全国卷对理科立体几何的考查基本上定位在两类问题上——位置关系及度量关系.第一类大多以证明题的形式考查线线、线面、面面间的位置关系问题(常是垂直或平行);第二类大多以计算题的形式考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题. 
  以2016年各地理科数学卷的立体几何的考查情况为例,做一个简单的统计介绍.首先介绍全国卷Ⅰ、Ⅱ、III卷,还有浙江卷、四川卷、山东卷这几个省份的立体几何题目类似.第一问均为线面平行、垂直以及面面垂直的证明题,多以几何法证明;第二问均为求线面角和二面角问题,常采用向量坐标法解决,也有少量可以采用几何综合法证明.其次介绍江苏卷第一问证明线面平行,第二问证明面面平行,均可采用几何法证明.再次介绍上海卷第一问求三棱锥体积,采用三棱锥体积公式即可求得(即几何法),第二问求异面直线,采用几何法求解.最后介绍北京卷和天津卷,它们均有三小问,其中北京卷第一问证明线面垂直,采用几何法,第二问求线面角,采用向量坐标法,第三问探索性问题,证明线面平行,采用的向量坐标法.而天津卷第一问证明线面平行,第二问求二面角,第三问求线面角,均以向量坐标法解决. 
  综上,各地区针对立体几何的考查仍是保持往年一贯的出题习惯,无论是传统的几何法还是向量坐标法,似乎都是不偏不倚,第一问侧重几何法,第二问倾向于向量坐标法. 
  2新课标做何要求 
  传统高考对立体几何的考查,侧重于证明空间线面位置关系和相关数量关系.以平行、垂直、角、距离、面积、体积为主要考查点.而在新课标引入空间向量以后,立体几何的考查发生了变化,主要是证明线面平行、垂直以及面面平行、垂直,计算线面角、面面角,特别地以多面体和球为载体的线面位置关系的论证与计算. 
  高中新课程标准对立体几何中向量坐标法的应用有如下要求:理解直线的方向向量与平面的法向量;能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用. 
  向量方法与立体几何的高度融合,是数形结合的经典范例,但不一定要是向量的坐标运算,向量的字母运算(即线性运算)也是不能忽视的一大方法.甚至可以说,向量的字母运算背后有丰富的物理背景和几何意义、演绎过程中有强大的运算律,它才是向量的核心内容.坐标运算只是一种运用,一种表达罢了!我们难免会有疑惑:“是否是我们的高考命题导向跑偏了呢?”其实不然,细心的老师应该会发现,教材选修21中为了引导学生从整体上认识立体几何中的向量方法——“三步曲”是如何具体使用的,设置了4个例题,前两个例题都是用向量的字母运算解决的,第三、四个是用建系、用坐标运算解决的,并且在例3的后面有一个探究——“不建立坐标系,如何解决这个问题?”,实则用向量的字母运算要更简单!教材是花了浓墨的,至于高考不太待见,可能是向量的字母运算涉及的运算量要低些,也可能是抽象程度更高些. 
  3几点思考 
  3.1从对比中窥探端倪 
  对于文科立体几何,不少一线教师仍会教授向量方法在其中的应用,效果有多好呢,也未曾见得.编写教材的专家们为何区别对待文理科生的教学,相信一定有令人信服的理论和实践支撑,我个人认为是数学教学真正在践行“以人为本,尊重学生主体地位”的教育理念. 
  立体几何这一内容至少承载三大功能:培养学生的空间想象能力,培养学生的逻辑推理能力,培养学生的严谨与规范表达能力.文科生空间感较弱、逻辑性不强,其培养重心应在第一、二个上,而理科生书写规范较差,其培养重心则应在第三个上.这样就不难理解文理有别了!谈及此就不得不谈不分文理科后数学高考如何在此处命题的問题,设置选做题(一题倾向于用几何法解决,一题倾向于用向量坐标法解决),要求二选一,是一种做法,寻找“中间地带”,设置一个两法皆易操作的题也不是不可以.当然,这要取决于教材的编写.3.2以思想方法论论道 
  数学方法论主要研究和讨论数学的发展规律,数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则.它应该是我们实施任何教育举措的灵魂所在、准绳所依、理论根本.对于错综多变的立体几何问题,我们已经掌握了一套行之有效的万能办法——向量坐标法,一个需要动脑筋的问题转化为一个不需要动脑筋的问题,这不是进步是什么. 
  立体几何常用方法中,一是传统的几何法,需要学生有很强的空间想象能力,以及严谨的逻辑推理能力,这种方法无论是证明还是求解都要经历“作——证”的过程,对很多基础薄弱的学生来说都是很困难的;另一种是向量坐标法,这种方法不需要很强的空间想象能力,以及严谨的推理能力,只需要掌握向量坐标夹角公式,通过纯粹的代入运算即可得到相应的结果. 
  未引入向量法之前,学生都是很怕立体几何问题的,怕作辅助线和严谨的逻辑推理.向量法的引入,为立体几何解题提供了新的工具,无论是对线面或者是面面的垂直、平行的论证,亦或者对线面角和面面角的求解,都可以摆脱掉“作——证”过程,由代数运算完成,这样的几何问题代数化的转化,大大降低了立体几何中的论证、解题的难度. 
  3.3以课程目标为向导 
  数学课程的目标不是培养数学家,是培养具有数学素养的公民,以满足个人的发展与社会的进步.而从命题到解题不能总盯着锻炼学生的思维这个层面看,也应该注重其他方面的能力培养,比如运算能力的培养.很多学生的运算水准直接制约了数学能力,不能合理运用估算、精算、巧算,不注重算理,要么“死算无果”,要么“一算就死”.

用传统几何法求距离和夹角时,要满足三个步骤“作——证——求”,而其中的两个步骤“作——证”却是成了不少学生的拦路虎,谈之色变.因为这两个步骤不仅要求学生有很强的空间想象能力,更要有严密的逻辑思维能力.然而相对于传统几何法受到学生排斥,向量坐标法则更受学生青睐.向量坐标法需要学生建立合理的空间坐标系,运用向量夹角坐标公式,进行求解即可,直接回避了立体几何中的错综复杂的位置关系的演化,变成了纯粹的计算,大大降低了思维难度. 
  3.4工具意识与创新 
  能够用好工具,能规范作业才是立体几何的最终出发点.传统几何法在论证、求解立体几何问题时需要有繁琐的分析,以及严谨的推理,对很多学生来说难度较大.向量坐标法只需思路简单,过程清晰规范,计算结果正确即可,但往往又有很多学生做题不规范.向量坐标法的规范作答的一般要求:①建立空间直角坐标系,必须满足相交于一点的两两垂直的三条直线,没有的需要构造出这样的三条直线,同时需要注意建系要满足右手法则;②求出相关点的坐标,结合题目中的线段与平面信息,表示出所需的各点坐标;③计算出相关的直线的方向向量以及平面的法向量;④结合向量的线线共线、垂直公式进行论证平行与垂直关系,利用数量积公式计算空间角与距离问题;⑤转化为几何结论. 
  当然,工具优而用,也可以有些微创新.如求二面角所成平面角,不仅限于转化为两平面的法向量的夹角(或补角),也可根据二面角的定义,转化为求两平面内与交线垂直的向量的夹角(或补角).3.5立足整体以渗透思想 
  数学是研究数量关系和空间形式的科学,空间几何又着重于研究位置关系与数量关系.新教材遵循“空间几何体→点、线、面的位置关系→空间向量与立体几何”的展开方式,第一个过渡体现了从具体到抽象的研究思路,属于抽象的第一步,为以后学习n维空间、距离空间等更抽象的空间奠定基础;第二个过渡不仅体现了向量的工具性,更有效地渗透了坐标化的思想.如立体几何问题中的圆锥曲线轨迹問题就是一类很好的问题,又比如解析几何的本质便是坐标化,很多问题都可以坐标化.坐标化让“算”变的无所不能,让每一个元素都找到自己的位置,位置关系的精确化就是量化. 


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